Question

已知函數f（x）=ae^x-

1

2

x²
（1）若f（x）在R上為增函數，求a的取值范圍；
（2）若a=1，求證：x＞0時，f（x）＞1+x．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=ae^x-x；從而由增函數知f′（x）=ae^x-x≥0恒成立，從而化為最值問題；
（2）若a=1，f（x）=e^x-

1

2

x²，令h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1，h′（x）=e^x-x-1；h″（x）=e^x-1，從而確定函數的單調性，再證明即可．

解答： 解：（1）f（x）=ae^x-

1

2

x²，f′（x）=ae^x-x；
∵f（x）在R上為增函數，
∴f′（x）=ae^x-x≥0恒成立，
故a≥

x

ex

恒成立；
令F（x）=

x

ex

，則F′（x）=

1-x

ex

，
則F（x）=

x

ex

在x=1處取的最大值，
a≥

1

e

；
故a的取值范圍為[

1

e

，+∞）；
（2）證明：若a=1，f（x）=e^x-

1

2

x²，
令h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1，h′（x）=e^x-x-1；
h″（x）=e^x-1，當x＞0時，h″（x）＞0；
故h′（x）=e^x-x-1在（0，+∞）上是增函數，
h′（x）=e^x-x-1＞h′（0）=0；
故h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1在（0，+∞）上是增函數，
故h（x）＞h（0）=1-1=0；
故x＞0時，f（x）＞1+x．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理方法及應用，屬于中檔題．