Question

設函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=x-2，設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁≥0，x₂＞0），若直線PQ∥x軸，則P，Q兩點間最短距離為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,點到直線的距離公式

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：求出導函數(shù)f′（x），根據(jù)題意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），求出其導函數(shù)，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離．

解答： 解：x≥0時，f'（x）=e^x+cosx≥1+cosx≥0，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∵f（x₁）=g（x₂），所以ex1+sinx₁=x₂-2，
∴P，Q兩點間的距離等于|x₂-x₁|=|ex1+sinx1-x1+2|，
設h（x）=e^x+sinx-x+2（x≥0），則h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），
記l（x）=h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），則l'（x）=e^x-sinx≥1-sinx≥0，
∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以h（x）≥h（0）=3，
∴|x₂-x₁|≥3，即P，Q兩點間的最短距離等于3．
故選：B．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．