Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，.
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若方程有一根為，方程的根為，是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù).

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查學(xué)生的函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，注意到函數(shù)的定義域中，所以先將原恒成立的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)出新函數(shù)，只需證出即可，所以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，對(duì)求導(dǎo)，討論的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值；第二問(wèn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，判斷出當(dāng)或或時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，先求出的解，假設(shè)存在成立，得到的值，代入到中，判斷有沒(méi)有可能為0，設(shè)出新函數(shù)，只需判斷的最小值的正負(fù)，對(duì)求導(dǎo)，并進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷出，所以不合題意，所以不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù).
試題解析：⑴解:注意到函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032050782535.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以恒成立恒成立,
設(shè),
則,     2分
當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以是上的增函數(shù),
注意到,所以時(shí),不合題意.   4分
當(dāng)時(shí),若,;若,.
所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),
故只需.      6分
令,
,
當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),.
所以是上的增函數(shù),是上的減函數(shù).
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立,即為所求.      8分
⑵解:由⑴知當(dāng)或時(shí),,即僅有唯一解,不合題意;
當(dāng)時(shí), 是上的增函數(shù),對(duì),有，
所以沒(méi)有大于的根,不合題意.    8分
當(dāng)時(shí),由解得,若存在,
則,即,
令,,
令,當(dāng)時(shí),總有,
所以是上的增函數(shù),即,
故,在上是增函數(shù),
所以,即在無(wú)解.
綜上可知,不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù).     12分