Question

求函數(shù)f（x）=ax²+3x-4（-1≤x≤a）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=3x-4=（-1≤x≤0），易得其最值．當(dāng)②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)、③當(dāng)

3

2

＞a＞0時(shí)、④當(dāng)a≥

3

2

時(shí)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得它的最值．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=3x-4=（-1≤x≤0），故函數(shù)的最小值為-7，最大值為-4．
②當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+3x-4=a(x+

3

2a

)2-4-

9

4a

 （-1≤x≤a）在區(qū)間[-1，a]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值為a-7，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取得最大值為a²-3a-4．
③當(dāng)

3

2

＞a＞0時(shí)，-

3

2a

＜-1，函數(shù)f（x）ax²+3x-4=a(x+

3

2a

)2-4-

9

4a

（-1≤x≤a）
在區(qū)間[-1，a]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值為a-7，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取得最大值為a²-3a-4．
④當(dāng)a≥

3

2

時(shí)，-

3

2a

∈[-1，0），則當(dāng)x=-

3

2a

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-4-

9

4a

；
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為 a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．