Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多兩項的規(guī)則排列成如圖數(shù)表，已知圖中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₅…構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為數(shù)列{b_n}，且b₂=4，b₅=10，圖中每一行正中間一個數(shù)a₁，a₃，a₇…構(gòu)成數(shù)列{c_n}，其前n項和為S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若圖中從第2行開始，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均成等比數(shù)列，且公比是同一個正數(shù)，已知a₁₉=

5

2

，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){b_n}的公差為d，利用b₂=4，b₅=10，建立方程組，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個數(shù)，且4²＜19＜5²，解得q=

1

2

，c_n=

n

2n-2

，由錯位相減法能夠求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){b_n}的公差為d，
則

b1+d=4 b1+4d=10

，解得

b1=2 d=2

，∴b_n=2n．
（Ⅱ）設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個數(shù)，且4²＜19＜5²，
∴a₁₇=b₅=10，
∴a₁₉=a₁₇q²=10q²，
又a₁₉=

5

2

，解得q=

1

2

，
∴c_n=

n

2n-2

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2-1

+

2

20

+…+

n

2n-2

，
∴

1

2

S_n=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

，
兩式相減可得

1

2

S_n=4-

n+2

2n-1

，
∴S_n=8-

n+2

2n-2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法、前n項和的計算和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要注意方程思想和錯位相減求和法的合理運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．