精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數， （， 為自然對數的底數）.

（1）試討論函數的極值情況；

（2）證明：當且時，總有.

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求定義域內的所有根；判斷的根左右兩側值的符號即可得結果；（2）當時， ，研究函數的單調性，兩次求導，可證明在內為單調遞增函數，進而可得當時， ，即可得結果.

試題解析：（1）的定義域為，

.

①當時， ，故在內單調遞減， 無極值；

②當時，令，得；令，得.

故在處取得極大值，且極大值為， 無極小值.

（2）證法一：當時， .

設函數 ，

則.記，

則.

當變化時， ， 的變化情況如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在內為單調遞增函數.

所以當時， .

即當且時， .

所以當且時，總有.

證法二：當時， .

因為且，故只需證.

當時， 成立；

當時， ，即證.

令，則由，得.

在內， ；

在內， ，

所以.

故當時， 成立.

綜上得原不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x ， 2≤x＜3}，U=R．
（1）求A∪B；
（2）求（UA）∩B．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知圓的參數方程為（為參數），以直角坐標系的原點為極點， 軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）將圓的參數方程化為普通方程，再化為極坐標方程；

（Ⅱ）若點在直線上，當點到圓的距離最小時，求點的極坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知一組數據x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5的平均數是2，方差是 ，那么另一組數據3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數和方差分別為（ ）
A.2，
B.4，3
C.4，
D.2，1

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數y=x+ 有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在 上是減函數，在 上是增函數．
（1）已知f（x）= ，x∈[﹣1，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區(qū)間和值域；
（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x）=﹣x﹣2a，若對任意x1∈[﹣1，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，左焦點為F（﹣1，0），過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求k的取值范圍；
（3）在y軸上，是否存在定點E，使 恒為定值？若存在，求出E點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（2）設定義在D上的函數y=g（x）在點P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當x≠x0時，若 ＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=g（x）的“轉點”．當a=8時，問函數y=f（x）是否存在“轉點”？若存在，求出“轉點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數f（x）對任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，則（ ）
A.3f（ln2）＞2f（ln3）
B.3f（ln2）=2f（ln3）
C.3f（ln2）＜2f（ln3）
D.3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，曲線,曲線．以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數方程為（為參數）．

（1）求的直角坐標方程；

（2）與交于不同的四點，這四點在上排列順次為,求的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案