Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為， 若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，試問(wèn)是否存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)求出一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）法一： 時(shí)，求出的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程根據(jù)新定義問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)時(shí)， ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可；法二：猜想存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為，然后加以證明即可.

試題解析：（Ⅰ）解 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>

所以， 因，

由，即得或， 由得；

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）解法一：當(dāng)時(shí)，

所以在點(diǎn)處的切線方程為

令

則

易知；

又=0

則

當(dāng)時(shí)， ，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， ，從而有時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， ，從而有時(shí)， ；

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”。 ……11分

當(dāng)時(shí)， ，所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

故恒成立

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”.

（Ⅱ）解法二

當(dāng)時(shí)，

所以在點(diǎn)處的切線方程為

若函數(shù)存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”

則等價(jià)當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)恒成立

當(dāng)時(shí)恒成立，

等價(jià)于恒成立

即

令

而

要使在恒成立，只要在單調(diào)遞增即可

所以，即當(dāng)時(shí)恒成立，同理可得，

所以

所以函數(shù)存在“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱點(diǎn)”橫坐標(biāo)為.