Question

已知F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與曲線C相切于點(diǎn)M，且與直線x=-1相交于點(diǎn)N，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)E，使得以MN為直徑的圓恒過此定點(diǎn)E？若存在，求出定點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（-1，y），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化簡得y²=4x；
（Ⅱ）由

y=kx+m y2=4x

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由△=0，得km=1，從而有M（m²，2m），N(-1，-

1

m

+m)，
設(shè)點(diǎn)E（x，0），使得ME⊥NE，則(x-m2)(x+1)+(-2m)(

1

m

-m)=0．
（1-x）m²+x²+x-2=0，得x=1．
所以存在一個(gè)定點(diǎn)E（1，0）符合題意．