Question

12．已知矩形ABCD中，AD=4，AB=6，點(diǎn)M在AD上，且MD=1，沿著MB將△AMB折起．

（1）當(dāng)點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在MB上時(shí)，求直線AC與平面BCDM所成角的正弦值；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在DC上時(shí)，求平面ABC與平面AMD所成二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在MB上時(shí)，求直線AC與平面BCDM所成角的正弦值；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在DC上時(shí)，求平面ABC與平面AMD所成二面角的正切值．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在MB上時(shí)，
即AH⊥面BCDM，
則AH⊥MB，
則∠ACH是直線AC與平面BCDM所成的角，
則矩形中，過(guò)H分別作HF⊥AB，HG⊥BG，
∵AD=4，AB=6，且MD=1，
∴AM=3，BM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
則AH=$\frac{AM•AB}{MB}$=$\frac{3×6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
AH²=AF•AB，
即AF=$\frac{A{H}^{2}}{AB}$=$\frac{\frac{36}{5}}{6}$=$\frac{6}{5}$，HF=$\sqrt{A{H}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
則CG=CB-BG=6-$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$，HG=BF=AB-AF=6-$\frac{6}{5}$=$\frac{24}{5}$，
則CH=$\sqrt{C{G}^{2}+G{H}^{2}}$=6，
AC=$\sqrt{C{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{36+\frac{36}{5}}$=$\frac{6\sqrt{30}}{5}$，
則sin∠ACH=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{\frac{6}{\sqrt{5}}}{\frac{6\sqrt{30}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即直線AC與平面BCDM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在DC上時(shí)，
∵M(jìn)D∥BC，
∴過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線，
∵點(diǎn)A在平面BCDM上的投影在DC上，BC⊥CD，
∴BC⊥面ACD，
∴BC⊥AD，BC⊥AC，
∴可以得到∠DAC即為所求的二面角．
∵M(jìn)D=1，∴AM=3，
折疊后AD=$\sqrt{A{M}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{9-1}=\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
在直角三角形ACB中，BC=4，AB=6，
則AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{36-16}=\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
由余弦定理得cos∠DAC=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{8+20-36}{2×2\sqrt{2}×2\sqrt{5}}$=$-\frac{1}{\sqrt{10}}$，
sin∠DAC=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
則平面ABC與平面AMD所成二面角的正切值tan∠DAC=$\frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}$=-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面所成的角以及二面角的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．