Question

11．求下列函數(shù)的最大值和最小值；
y=3cos²x-4cosx+1，x∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 換元可得y=3t²-4t+1，t∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：∵x∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]．∴t=cosx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴y=3cos²x-4cosx+1=3t²-4t+1，
由二次函數(shù)知識可知當(dāng)t∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時，函數(shù)y=3t²-4t+1單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，y_max=3（-$\frac{1}{2}$）²-4（-$\frac{1}{2}$）+1=$\frac{15}{4}$；
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，y_min=3（$\frac{1}{2}$）²-4（$\frac{1}{2}$）+1=-$\frac{1}{4}$；
∴原函數(shù)的最大值和最小值分別為：$\frac{15}{4}$，-$\frac{1}{4}$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．