Question

（本題12分）某校決定為本校上學(xué)時(shí)間不少于30分鐘的學(xué)生提供校車接送服務(wù)．為了解學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間，從全校600名學(xué)生中抽取50人統(tǒng)計(jì)上學(xué)時(shí)間（單位：分鐘），現(xiàn)對600人隨機(jī)編號為001，002，…600．抽取50位學(xué)生上學(xué)時(shí)間均不超過60分鐘，將時(shí)間按如下方式分成六組，第一組上學(xué)時(shí)間在[0，10），第二組上學(xué)時(shí)間在[10，20），…第六組上學(xué)時(shí)間在[50，60]得到各組人數(shù)的頻率分布直方圖．如圖．

（1）若抽取的50個樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到，
且第一段的號碼為006，則第五段抽取的號碼是什么？
（2）若從50個樣本中屬于第4組和第6組的所有人
中隨機(jī)抽取2人，設(shè)他們上學(xué)時(shí)間分別為a、b，求滿足
|a-b|＞10的事件的概率；
（3）設(shè)學(xué)校配備的校車每輛可搭載40名學(xué)生，請根
據(jù)抽樣的結(jié)果估計(jì)全校應(yīng)有多少輛這樣的校車？

Answer 1

（1）第五段抽取的號碼是054；（2）p=；
（3）全校上學(xué)時(shí)間不少于30分鐘的學(xué)生約有120人，所以估計(jì)全校需要3輛校車．

本題主要考查了系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣每個個體被抽到的概率相等，是等距抽樣，以及古典概型的概率問題，屬于基礎(chǔ)題．
（I）根據(jù)抽取的50個樣本，則應(yīng)將600人平均分成50組，每組12人，然后利用系統(tǒng)抽樣的原則，每組中抽出的號碼應(yīng)該等距即可；
（II）先由直方圖知第4組頻率和第6組頻率，然后利用頻數(shù)=樣本容量×頻率，求出第4組和第6組的人數(shù)，然后利用列舉法將從這六人中隨機(jī)抽取2人的所有情況逐一列舉出來，然后將滿足條件的也列舉出來，最后根據(jù)古典概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
（III）利用樣本估計(jì)總體的方法，先算出全校上學(xué)時(shí)間不少于30分鐘的學(xué)生約有多少人，從而估計(jì)全校需要幾輛校車．
解：
（1）600÷50=12，第一段的號碼為006，第五段抽取的數(shù)是6+（5-1）×12=54，即第五段抽取的號碼是054
（2）第4組人數(shù)=0.008×10×50=4，這4人分別設(shè)為A、B、C、D
第6組人數(shù)=0.004×10×50=2，這2人分別設(shè)為x，y隨機(jī)抽取2人的可能情況是：AB  AC  AD  BC  BD  CD  xy  Ax  Ay  Bx  By  Cx  Cy  Dx  Dy一共15種情況，其中他們上學(xué)時(shí)間滿足|a-b|＞10的情況有8種所以滿足|a-b|＞10的事件的概率p=
（3）全校上學(xué)時(shí)間不少于30分鐘的學(xué)生約有600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人所以估計(jì)全校需要3輛校車．