Question

（12分）已知函數（）.
①當時，求曲線在點處的切線方程；
②設是的兩個極值點，是的一個零點.證明：存在實數，使得按某種順序排列后構成等差數列，并求.

Answer 1

①.②存在實數滿足題意，且.

試題分析：（1）將a，b的值代入后對函數f（x）進行求導，根據導數的幾何意義即函數在某點的導數值等于該點的切線的斜率，可得答案．
（2）對函數f（x）求導，令導函數等于0解出x的值，然后根據x₃是f（x）的一個零點可得到x₃=b，然后根據等差數列的性質可得到答案．
解：①當時，，故，又，
所以點處的切線方程為：.
②證明：因為=，由于，故，
所以的兩個極值點為，不妨設，，
因為，且是的一個零點，故，
由于，故，故，又，
故=，此時依次成等差數列，
所以存在實數滿足題意，且.
點評：對于導數在研究函數中的運用問題，對于導數的幾何意義是考試的必考的一個知識點，要引起重視，同時對于極值點的導數為零是該點為極值點的必要不充分條件。