Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{9n}{2}$．數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₁=5，{b_n}前8項和為124
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）設c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-9）（2_{n}-1）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，并證明T_n≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1，n≥2且當n=1時，a₁=S₁，可得{a_n}的通項公式，由等差數(shù)列的求和公式，可得公差，進而得到{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）運用裂項相消求和，即有c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-9）（2_{n}-1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），求得前n項和T_n，由單調性即可得證．

解答 解：（Ⅰ）S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{9n}{2}$．①
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{9}{2}$（n-1）（n≥2）②
∴①-②得a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（2n-1）+$\frac{9}{2}$=n+4，
且當n=1時，a₁=S₁=5，
a_n=n+4（n∈N^*），
由已知b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即有b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，令其公差為d，
又b₁=5，
由{b_n}前8項和為124，
則40+28d=124∴d=3，
∴b_n=3n+2；                                        
（Ⅱ）證明：∴c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-9）（2_{n}-1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2x+1}$為（0，+∞）的單調遞減函數(shù)，
∴T_n為單調遞增，T_n≥T₁=$\frac{1}{3}$，
∴T_n≥$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項、求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．