Question

（2009•黃浦區(qū)二模）在三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，點D、E分別是棱BC、AP的中點．
（1）試用反證法證明直線DE與直線CP是異面直線；
（2）若PA=PB=PC=4，F(xiàn)為棱AB上的點，且AF=

1

4

AB，求二面角D-EF-B的大�。ńY果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）用反證法證明，假設DE與CP不是異面直線．設DE與CP都在平面α上．由P∈α，E∈α，知PE?α．A∈α．由C∈α，D∈α，CD?α．知B∈α．從而得到點A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，由此得到直線DE與CP是異面直線．
（2）建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．借助法向量用向量法求二面角D-EF-B的大小．

解答：解：（1）證明：（反證法）假設DE與CP不是異面直線．（2分）
設DE與CP都在平面α上．∵P∈α，E∈α，∴PE?α．∵A∈PE，∴A∈α．
又∵C∈α，D∈α，∴CD?α．∵B∈CD，∴B∈α．
∴點A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，于是，假設不成立．（5分）
所以直線DE與CP是異面直線．（6分）
 （2）按如圖所示建立空間直角坐標系．　　　　　　　　　　　�。�7分）
由題可知，A（4，0，0）、B（0，4，0）、C（0，0，4），進一步有D（0，2，2）、
E（2，0，0）、F（3，1，0），且平面EFB的一個法向量為

n1

=

OC

=(0，0，4)．
設平面DEF的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，則

n2 • DE =0 n2 • EF =0

，即

x-y-z=0 x+y=0

．
取x=1，得y=-1，z=2．
所以

n2

=(1，-1，2)．　　　　　　　　         　　　　　　　 　�。�9分）
記

n1

與

n2

的夾角為θ，于是，cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

8

4 6

=

6

3

，θ=arccos

6

3

．　　　   　　�。�10分）
結合圖形可以判斷二面角D-EF-B是銳角，因此二面角D-EF-B的大小為arccos

6

3

．　　　　　　　　　　�。�12分）

點評：本題考查異面直線的證明和二面角的求法，解題時要認真審題，注意反證法和向量法的靈活運用．