【題目】設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成:①②存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意正整數(shù)都成立.
(1)現(xiàn)在給出只有5項(xiàng)的有限數(shù)列試判斷數(shù)列是否為集合的元素;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為且若對(duì)任意正整數(shù)點(diǎn)均在直線上,證明:數(shù)列并寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列若數(shù)列沒(méi)有最大值,求證:數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列。
【答案】(1)不是;(2),;(3)證明略
【解析】
(1)由于,可知數(shù)列不滿足條件①.(2)由于點(diǎn),在直線
上,可得,利用遞推關(guān)系可得:,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得:,驗(yàn)證,可知:條件①成立.由于,即可得出條件②及其,的范圍.(3)利用反證法證明.
(1)解:,因此數(shù)列不滿足條件①,數(shù)列.
(2)證明:點(diǎn),在直線上,,
當(dāng)時(shí),,可得:,化為,
n=1時(shí),易知,顯然
數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為.,
則,
.條件①成立.
由于,,.
(3)證明:(反證法)若數(shù)列非單調(diào)遞增,則一定存在正整數(shù),使成立,
當(dāng)時(shí),由,得,
而,所以.
顯然在, ,,這項(xiàng)中一定存在一個(gè)最大值,不妨記為,
所以為,這與數(shù)列沒(méi)有最大值相矛盾.
所以假設(shè)不成立,故命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的,但從歷史的角度講,該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式,因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之,才將這一不等式推廣到完善的地步,在高中數(shù)學(xué)選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc(即)時(shí)等號(hào)成立.該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用.根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為( 。
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠因排污比較嚴(yán)重,決定著手整治,一個(gè)月時(shí)污染度為,整治后前四個(gè)月的污染度如下表:
月數(shù) | … | ||||
污染度 | … |
污染度為后,該工廠即停止整治,污染度又開(kāi)始上升,現(xiàn)用下列三個(gè)函數(shù)模擬從整治后第一個(gè)月開(kāi)始工廠的污染模式:,,,其中表示月數(shù),、、分別表示污染度.
(1)問(wèn)選用哪個(gè)函數(shù)模擬比較合理,并說(shuō)明理由;
(2)若以比較合理的模擬函數(shù)預(yù)測(cè),整治后有多少個(gè)月的污染度不超過(guò).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)Q作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為不在坐標(biāo)軸上),若直線在x軸,y軸上的截距分別為,證明:為定值;
(3)若是橢圓上不同兩點(diǎn),軸,圓E過(guò),且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓E內(nèi),則稱圓E為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓,試問(wèn):橢圓是否存在過(guò)焦點(diǎn)F的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.
(I)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說(shuō)明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了應(yīng)對(duì)金融危機(jī),決定適當(dāng)進(jìn)行裁員,已知這家公司現(xiàn)有職工人(,且為10的整數(shù)倍),每人每年可創(chuàng)利100千元,據(jù)測(cè)算,在經(jīng)營(yíng)條件不變的前的提下,若裁員人數(shù)不超過(guò)現(xiàn)有人數(shù)的30%,則每裁員1人,留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利1千元(即若裁員人,留崗員工可多創(chuàng)利潤(rùn)千元);若裁員人數(shù)超過(guò)現(xiàn)有人數(shù)的30%,則每裁員1人,留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利2千元(即若裁員人,留崗員工可多創(chuàng)利潤(rùn)千元),為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn),留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的50%,為了保障被裁員工的生活,公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費(fèi).
(1)設(shè)公司裁員人數(shù)為,寫(xiě)出公司獲得的經(jīng)濟(jì)效益(千元)關(guān)于的函數(shù)(經(jīng)濟(jì)效益=在職人員創(chuàng)利總額—被裁員工生活費(fèi));
(2)為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益,該公司應(yīng)裁員多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,且,且.
(1)若,試判斷的奇偶性;
(2)若,,,證明的圖像是軸對(duì)稱圖形,并求出對(duì)稱軸.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行,內(nèi)、外環(huán)線的長(zhǎng)均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)度差異).
(1)當(dāng)9列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí),要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10分鐘,求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度;
(2)新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時(shí),外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時(shí).現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運(yùn)行,要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1分鐘,向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公園草坪上有一扇形小徑(如圖),扇形半徑為,中心角為,甲由扇形中心出發(fā)沿以每秒2米的速度向快走,同時(shí)乙從出發(fā),沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑,記秒時(shí)甲、乙兩人所在位置分別為,,通過(guò)計(jì)算,判斷下列說(shuō)法是否正確:
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)取最小值;
(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
(3)若最小,則;
(4)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn);
其中正確的判斷序號(hào)是______(把你認(rèn)為正確的判斷序號(hào)都填上)
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