如圖所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．
（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得平面，從而，結(jié)合,證出平面，從而得到；
（2）因為，所以直線與平面夾角即直線與平面夾角
建立空間直角坐標系，設(shè)為原點，為軸正半軸，為軸正半軸，設(shè)平面的一個法向量，通過計算求出，與的夾角的余弦值的絕對值就為直線與平面夾角的正弦值.
試題解析：(1) 是直棱柱

又

又，



（2）
直線與平面夾角即直線與平面夾角
建立空間直角坐標系，設(shè)為原點，為軸正半軸，為軸正半軸，
設(shè),,,,,則，，

，即

，
設(shè)平面的一個法向量


，，

直線與平面夾角的正弦值.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點．

(1)求證：B1D1∥平面A1BD；
(2)求證：MD⊥AC；
(3)試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

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如圖，已知DE⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點。

（I）求證：AF//平面BCE；
（II）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設(shè)點是的中點，證明：平面；
（2）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是（　�。�
A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

一個棱柱是正四棱柱的條件是( 　　)
A．底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形
B．每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱
C．底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直
D．底面是正方形，有兩個相鄰側(cè)面垂直于底面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖在棱長均為2的正四棱錐中，點為中點，則下列命題正確的是（   ）
A．面，且直線到面距離為
B．面，且直線到面距離為
C．不平行于面，且與平面所成角大于
D．不平行于面，且與平面所成角小于

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：① ② ③與相交與相交或重合 ④與平行與平行或重合，其中不正確的命題的個數(shù)是（     ）
A．4個B．3個C．2個D． 1

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