Question

16．已知A+B+C=π，求證：cos$\frac{A}{2}$+cos$\frac{B}{2}$+cos$\frac{C}{2}$=4cos$\frac{π-A}{4}$cos$\frac{π-B}{4}$cos$\frac{π-C}{4}$．

Answer 1

分析 運用三角函數的和差化積公式和誘導公式，化簡整理，即可得證．

解答 證明：由A+B+C=π
可得cos$\frac{A}{2}$+cos$\frac{B}{2}$+cos$\frac{C}{2}$=2cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A-B}{4}$+cos$\frac{π-A-B}{2}$
=2cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A-B}{4}$+sin$\frac{A+B}{2}$
=2cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A-B}{4}$+2sin$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A+B}{4}$
=2cos$\frac{A+B}{4}$（cos$\frac{A-B}{4}$+cos$\frac{2π-A-B}{4}$）
=4cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{π-B}{4}$cos$\frac{π-A}{4}$
=4cos$\frac{π-A}{4}$cos$\frac{π-B}{4}$cos$\frac{π-C}{4}$．
故等式成立．

點評 本題考查三角函數的和差化積公式和誘導公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．