設數(shù)列an=n3+λn（n∈N），且滿足a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，則實數(shù)λ的取值范圍是
[-3，+∞）
[-3，+∞）
．
分析：令f（x）=x3+λx（x≥1）．由題意可知：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，等價于λ≥（-3x2）max（x≥1）．利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可．
解答：解：令f（x）=x3+λx（x≥1）．由題意可知：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f′（x）=3x2+λ≥0恒成立，即λ≥（-3x2）max（x≥1）．
∵當x≥1時，(-3x2)max=-3×12=-3．
∴λ≥-3．
故答案為[-3，+∞）．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題等基礎知識與基本方法，熟練掌握問題的等價轉(zhuǎn)化及其方法是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
n
3
，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項；
（2）設bn=
n
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an}，如果滿足ai+i（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；
不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”，如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn}，且{bn}同時滿足下面兩個條件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一個排列；②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”．
（Ⅰ）設數(shù)列{an}的前n項和Sn=
n3
(n2-1)，證明數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，…，11是否具有“變換P性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應的數(shù)列{bn}，不具此性質(zhì)的說明理由；
（Ⅲ）對于有限項數(shù)列A：1，2，3，…，n，某人已經(jīng)驗證當n∈[12，m2]（m≥5）時，數(shù)列A具有“變換P性質(zhì)”，試證明：當n∈[m2+1，（m+1）2]時，數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黃岡模擬）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=
n(a1+an)
2
(n∈N*)；數(shù)列{bn}滿足b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=
n
3
(n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
（2）若a1=1，a2=2，求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設數(shù)列{
an
bn
}前n項和為Tn，試比較
4
3
Tn與（2n2+3n-2）•2n-1的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設由三項組成的數(shù)列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設數(shù)列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案