Question

（本小題滿(mǎn)分13分）
給定橢圓，稱(chēng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到距離為．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為，求的值；
（Ⅲ）過(guò)橢圓C“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得：，半焦距       
則橢圓C方程為                       
“伴隨圓”方程為                             ……………3分
（Ⅱ）則設(shè)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為：，         
則整理得
所以，解①    ……………5分
又因?yàn)橹本�截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為，
則有化簡(jiǎn)得  ②      ……………7分
聯(lián)立①②解得，，
所以，，則                   ……………8分
（Ⅲ）當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，
由，消去得到  ……………9分
即， ，  
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：，               ……………11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181258576407.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以有，
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181258544222.gif" style="vertical-align:middle;" />與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以滿(mǎn)足方程，
因而，即直線的斜率之積是為定值           ……………13分

略