Question

討論函數(shù)y=ax²-2（3a+1）x+3在[-3，3]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：先對(duì)字母a的取值進(jìn)行分類討論：：①當(dāng)a=0時(shí)；②當(dāng)a＞0時(shí)；③當(dāng)a＜0時(shí)．再針對(duì)二次函數(shù)圖象，找對(duì)稱軸，利用開口向上（或向下）的二次函數(shù)在對(duì)稱軸右邊遞增（減），左邊遞減（增）即可研究其單調(diào)性．

解答：解：①當(dāng)a=0時(shí)，y=-2x+3，是一次函數(shù)，在[-3，3]上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對(duì)稱軸為x=3+

1

a

＞3，開口向上的拋物線，
所以在[-3，3]上是減函數(shù)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對(duì)稱軸為x=3+

1

a

＜3，開口向下的拋物線，
（i）當(dāng)-

1

6

≤a＜0時(shí)，函數(shù)y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對(duì)稱軸為x=3+

1

a

≤-3，開口向下的拋物線，
所以在[-3，3]上是減函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＜-

1

6

時(shí)，函數(shù)y=ax²-2（3a+1）x+3的圖象是對(duì)稱軸為x=3+

1

a

∈[-3，3]，開口向下的拋物線，
所以在[-3，3+

1

a

]上是增函數(shù)；在（3+

1

a

，3]上是減函數(shù)；
綜上，a≥-

1

6

時(shí)，在[-3，3]上是減函數(shù)；當(dāng)a＜-

1

6

時(shí)，在[-3，3+

1

a

）上是增函數(shù)；在（3+

1

a

，3]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有對(duì)稱軸和開口方向二者決定，開口向上的二次函數(shù)在對(duì)稱軸右邊遞增，左邊遞減；開口向下的二次函數(shù)在對(duì)稱軸左邊遞增，右邊遞減．