Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F₂與拋物線C2：y2=8x的焦點(diǎn)重合，左端點(diǎn)為(-

6

，0)
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)且斜率為

3

的直線l₂被橢圓C₁截得的弦AB，試求它的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）由拋物線焦點(diǎn)可求得c值，由橢圓左端點(diǎn)可得a值，根據(jù)b²=a²-c²可得b值；
（2）由點(diǎn)斜式易求直線l₂的方程，把l₂的方程代入橢圓方程消掉y可得關(guān)于x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得弦AB的長(zhǎng)；

解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為（2，0），所以c=2，
又橢圓的左端點(diǎn)為（-

6

，0），所以a=

6

，
則b²=a²-c²=(

6

)2-22=2，
故所求橢圓方程為：

x2

6

+

y2

2

=1；
（2）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)F（2，0），所以l₂的方程為：y=

3

（x-2），
代入橢圓C的方程

x2

6

+

y2

2

=1，化簡(jiǎn)得，5x²-18x+15=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理知，x1+x2=

18

5

，x₁x₂=3，
從而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 18 5 )2-4×3

=

2 6

5

，
由弦長(zhǎng)公式，得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+( 3 )2

×

2 6

5

=

4 6

5

，
弦AB的長(zhǎng)度為

4 6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查方程思想，弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類題目的基礎(chǔ)知識(shí)，要牢固掌握．