已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率e=
2
且點P(3，
7
)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標原點，過點Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為2
2
，求直線l的方程．
（1）由已知e=
2
可知雙曲線為等軸雙曲線，則a=b，
所以，雙曲線方程為x2-y2=a2，
又點P(3，
7
)在雙曲線C上，∴32-(
7
)2=a2，
解得a2=2，b2=2，
所以，雙曲線C的方程為
x2
2
-
y2
2
=1；
（2）由題意直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2
由
y=kx+2
x2
2
-
y2
2
=1
得（1-k2）x2-4kx-6=0，
設直線l與雙曲線C交于E（x1，y1）、F（x2，y2），則x1、x2是上方程的兩不等實根，
∴1-k2≠0，且△=16k2+24（1-k2）＞0，即k2＜3且k2≠1①，
這時x1+x2=
4k
1-k2
，x1•x2=-
6
1-k2

又S△OEF=
1
2
|OQ|•|x1-x2|=
1
2
×2×|×1-x2|=|x1-x2|=2
2

即(x1+x2)2-4x1x2=8，∴(
4k
1-k2
)2+
24
1-k2
=8．
整理得3-k2=（k2-1）2，即k4-k2-2=0，∴（k2+1）（k2-2）=0
又k2+1＞0，∴k2-2=0，∴k=±
2
，適合①式．
所以，直線l的方程為y=
2
x+2與y=-
2
x+2．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.
（1）求證：AB為圓的直徑；
（2）若AC=BD，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之積為-
3
4
．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）直線PM與橢圓的另一個交點為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三點P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
（Ⅰ）求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓標準方程；
（Ⅱ）設點P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對稱點分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點且過點P′的雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點分別為A1，A2，左、右頂點分別為B1，B2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．原點到直線A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點且斜率為
1
2
的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2，分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知定點F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），動點R在曲線C上運動且保持|RF1|+|RF2|的值不變，曲線C過點T（0，1），
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）M是曲線C上一點，過點M作斜率分別為k1和k2的直線MA，MB交曲線C于A、B兩點，若A、B關(guān)于原點對稱，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直線l過點F2，且與曲線C交于PQ，有如下命題p：“當直線l垂直于x軸時，△F1PQ的面積取得最大值”．判斷命題p的真假．若是真命題，請給予證明；若是假命題，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求拋物線的方程；
（2）在x軸上是否存在一點C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

以拋物線y2=4x的焦點為右焦點的橢圓，上頂點為B2，右頂點為A2，左、右焦點為F1、F2，且|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
3
|
OB2
|，過點D（0，2）的直線l，斜率為k（k＞0），l與橢圓交于M，N兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若M，N的中點為H，且
OH
∥
A2B2
，求出斜率k的值；
（3）在x軸上是否存在點Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形？如果存在，求出m的范圍；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，下頂點為A，點P是橢圓上任一點，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當⊙M的面積為
π
8
時，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當⊙M與直線AF1相切時，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個定圓相切．

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