【題目】已知,.
(1)若函數在為增函數,求實數的值;
(2)若函數為偶函數,對于任意,任意,使得成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)任取,由,得出,求出的取值范圍,即可得出實數的取值范圍;
(2)由偶函數的定義可求得,由題意可得出,由此可得出對于任意成立,利用參變量分離法得出,即可求出實數的取值范圍.
(1)任取,則
函數在上為增函數,,則,
且,,
,,則,,
因此,實數的取值范圍是;
(2)函數為偶函數,則,
即,即對任意的恒成立,
所以,解得,則,
由(1)知,函數在上為增函數,
當時,,
對于任意,任意,使得成立,
對于任意成立,
即(*)對于任意成立,
由對于任意成立,則,
,則,.
(*)式可化為,
即對于任意,成立,即成立,
即對于任意,成立,
因為,所以對于任意成立,
即任意成立,所以,
由得,所以的取值范圍為.
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【題目】雙曲線的左、右焦點分別是,拋物線的焦點與點重合,點是拋物線與雙曲線的一個交點,如圖所示.
(1)求雙曲線及拋物線的標準方程;
(2)設直線與雙曲線的過一、三象限的漸近線平行,且交拋物線于兩點,交雙曲線于點,若點是線段的中點,求直線的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若函數f(x)滿足:對于s,t∈[0,+∞),都有f(s)≥0,f(t)≥0,且f(s)+f(t)≤f(s+t),則稱函數f (x)為“T函數”.
(I)試判斷函數f1(x)=x2與f2(x)=lg(x+1)是否是“T函數”,并說明理由;
(Ⅱ)設f (x)為“T函數”,且存在x0∈[0,+∞),使f(f(x0))=x0.求證:f (x0) =x0;
(Ⅲ)試寫出一個“T函數”f(x),滿足f(1)=1,且使集合{y|y=f(x),0≤x≤1)中元素的個數最少.(只需寫出結論)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥,對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農藥量的,用水越多洗掉的農藥量也越多,但總還有農藥殘留在蔬菜上.設用單位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數.
(1)試規(guī)定的值,并解釋其實際意義;
(2)試根據假定寫出函數應該滿足的條件和具有的性質;
(3)設.現(xiàn)有單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗兩次,試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較省?說明理由.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1: (t為參數,t≠0),其中0≤α<π.在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2與C3交點的直角坐標;
(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,當時,恒有.當時, .
(Ⅰ)求證: 是奇函數;
(Ⅱ)若,試求在區(qū)間上的最值;
(Ⅲ)是否存在,使對于任意恒成立?若存在,求出實數的取值范圍;若不存在,說明理由.
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