Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若對(duì)于任意x∈R，都有f（x-2）≤f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$]
• B． [-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 通過對(duì)x與a的關(guān)系分類討論，畫出圖象，路其周期性即可得出．

解答 解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x-a²|+|x-2a²|-3a²．
∴當(dāng)0＜x≤a²時(shí)，f（x）=a²-x+2a²-x-3a²=-2x；
當(dāng)a²＜x≤2a²時(shí)，f（x）=x-a²+2a²-x-3a²=-2a²；
當(dāng)x＞2a²時(shí)，f（x）=x-a²+x-2a²-3a²=2x-6a²．
畫出其圖象如下：

由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時(shí)的圖象，與x＞0時(shí)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵?x∈R，f（x+2）≥f（x），f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得a∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的奇偶性、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．