Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=

3

5

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N*），數(shù)列{b_n}，滿足b_n=

1

an-1

（n∈N*）．
（1）求證數(shù)列{b_n]是等差數(shù)列；
（2）若S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），則S_n是否存在最大值或最小值？若有，求出最大值與最小值，若沒有說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中b_n=

1

an-1

，a_n=2-

1

an-1

，我們易得到b_n-b_n-1=1，再由a₁=

3

5

，求出數(shù)列{b_n]是首項b₁，后即可得到數(shù)列{b_n]是等差數(shù)列；
（2）由（1）中的結論，我們可得a_n-1=

1

n- 7 2

，由此可將S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），進行化簡，構造設函數(shù)y=

1

x- 5 2

，討論函數(shù)的單調(diào)性后，易得到當n=2時，S_n取最大值，代入即可得到結果．

解答：解：（1）由題意知b_n=

1

an-1

，∴b_n-b_n-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1（n∈N*），
∴數(shù)列{b_n]是首項為b₁=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有．a(chǎn)_n-1=

1

n- 7 2

S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）=-

2

5

-

1

n- 5 2

，
設函數(shù)y=

1

x- 5 2

，則函數(shù)在（

5

2

，+∞）上為減函數(shù)．
S_n在[3+∞）上是遞增，且S_n＜-

2

5

，故當n=3時，且S_n=-

2

5

-

1

n- 5 2

，取最小值-

12

5

．
而函數(shù)y=

1

x- 5 2

在（-∞，

5

2

）上也為減函數(shù)，S_n在（1，2]上是遞增，且S_n＞-

2

5

，
故當n=2時，S_n取最大值：S₂=

8

5

．S_n的最大值為

8

5

．

點評：本題考查的知識點是等差關系的確定及數(shù)列的函數(shù)特征，在求數(shù)列的最大項及數(shù)列前n項和的最大值時，我們常借助函數(shù)的性質(zhì)進行分析，但要注意數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，故滿足條件的n值，均應為正整數(shù)．