已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m>n且m≠0)的圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行.
(1)試確定m、n的符號(hào);
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[n,m]上有最大值為m-n2,試求m的值.
分析:(1)先對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),又根據(jù)f'(2)=0可得到m關(guān)于n的代數(shù)式.
(2)令f′(x)=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0,得x=0或x=2,易證x=0是f(x)的極大值點(diǎn),x=2是極小值點(diǎn),
在討論m的取值范圍,根據(jù)[n,m]上的最大值,求出m的值.
解答:解:(I)由圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行,
知f'(2)=0,∴n=-3m①
又n<m,故n<0,m>0.
(II)令f′(x)=3mx
2+2nx=3mx
2-6mx=0,
得x=0或x=2
易證x=0是f(x)的極大值點(diǎn),x=2是極小值點(diǎn)(如圖).
令f(x)=f(0)=0,得x=0或x=3.
分類:(I)當(dāng)0<m≤3時(shí),f(x)
max=f(0)=0,∴m-n
2=0.②
由①,②解得
m=,符合前提0<m≤3.
(II)當(dāng)m>3時(shí),f(x)
max=f(m)=m
4+m
2n,
∴m
4+m
2n=m-n
2.③
由①,③得m
3-3m
2+9m-1=0.
記g(m)=m
3-3m
2+9m-1,
∵g′(m)=3m
2-6m+9=3(m-1)
2+6>0,
∴g(m)在R上是增函數(shù),又m>3,∴g(m)>g(3)=26>0,
∴g(m)=0在(3,+∞)上無實(shí)數(shù)根.綜上,m的值為
m=.
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和單調(diào)性的能力,以及掌握不等式恒成立的條件