函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx
是[1,+∞)上的增函數(shù).
(Ⅰ)求正實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=x2+2x,在使g(x)≥M對定義域內(nèi)的任意x值恒成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最大值M=-1叫做f(x)=x2+2x的下確界,若函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx
的定義域為[1,+∞),根據(jù)所給函數(shù)g(x)的下確界的定義,求出當a=1時函數(shù)f(x)的下確界.
(Ⅲ)設b>0,a>1,求證:ln
a+b
b
1
a+b
.
分析:①當函數(shù)單調(diào)遞增時,其導數(shù)大于等于0恒成立求參數(shù)的范圍
②求下確界就是求函數(shù)的最小值利用導數(shù)求函數(shù)的最值
③證明不等式就是求最值
解答:解:(1)f(x)=
ax-1
ax2

f(x)=
ax-1
ax2
≥0
對x∈[1,+∞)恒成立,
a≥
1
x
對x∈[1,+∞)恒成立
1
x
≤1
∴a≥1答:
正實數(shù)a的取值范圍為a≥1
(2)由(1)可知a=1時,函數(shù)f(x)是定義域[1,+∞)上的增函數(shù),
故f(x)min=f(1)=0,
f(x)≥M恒成立
∴M≤f(x)min=0
∴M的最大值為0,
∴當a=1時函數(shù)f(x)的下確界為0.
答:當a=1時函數(shù)f(x)的下確界是0
(3)取x=
a+b
b
,∵a>1,b>0,∴
a+b
b
>1
,
由(1)知f(x)=
1-x
ax
+lnx
在[1,+∞)上是增函數(shù),
f(
a+b
b
)>f(1)=0

1-
a+b
b
a•
a+b
b
+ln
a+b
b
>0
,
ln
a+b
b
1
a+b
點評:導數(shù)的應用①知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 一般轉(zhuǎn)化成道函數(shù)恒大于等于0 或小于等于0
②證明不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值,若含著對數(shù)或指數(shù)一般用導數(shù)求最值.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(
x
-1)=-x
,則函數(shù)f(x)的表達式為( 。
A、f(x)=x2+2x+1(x≥0)
B、f(x)=x2+2x+1(x≥-1)
C、f(x)=-x2-2x-1(x≥0)
D、f(x)=-x2-2x-1(x≥-1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足條件:①當x∈R時,f(x-4)=f(2-x),且x≤f(x)≤
12
(1+x2)
;②f(x)在R上的最小值為0.
(1)求f(1)的值及f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-k2x在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍;
(3)求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
請觀察表中值y隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間
(2,0)
(2,0)
上遞增.
當x=
2
2
時,y最小=
4
4

證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間(0,2)遞減.
思考:(直接回答結果,不需證明)
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)有沒有最值?如果有,請說明是最大值還是最小值,以及取相應最值時x的值.
(2)函數(shù)f(x)=ax+
b
x
,(a<0,b<0)在區(qū)間
[-
b
a
,0)
[-
b
a
,0)
 和
(0,
b
a
]
(0,
b
a
]
上單調(diào)遞增.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•綿陽二模)對于具有相同定義域D的函數(shù)f(x)和g(x),若對任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)和g(x)在D上是“密切函數(shù)”.給出定義域均為D={x|1≤x≤3}的四組函數(shù)如下:
①f(x)=x2-x+1,g(x)=3x-2
②f(x)=x3+x,g(x)=3x2+x-1
③f(x)=log2(x+1),g(x)=3-x
④f(x)=
3
2
sin(
π
3
x+
π
3
),g(x)=
1
4
cos
π
3
x-
3
4
sin
π
3
x
其中,函數(shù)f(x)印g(x)在D上為“密切函數(shù)”的是
①④
①④

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)f(
x
-1)=-x
,則函數(shù)f(x)的表達式為(  )
A.f(x)=x2+2x+1(x≥0)B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1)
C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0)D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1)

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