Question

△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知．
（1）若△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)；
（2）設(shè)B=x，△ABC的周長(zhǎng)為y，求y=f（x）的表達(dá)式和最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinA和已知的面積值代入求出bc的值，記作①，再由余弦定理得到a²=b²+c²-2bc•cosA，將a，cosA及bc的值代入求出b²+c²的值，記作②，聯(lián)立①②求出b與c的值，進(jìn)而得出三角形的周長(zhǎng)；
（2）由A的度數(shù)，及B=x，利用三角形的內(nèi)角和定理表示出C的度數(shù)，由a與sinA的值，利用正弦定理分別表示b與c，進(jìn)而表示出三角形的周長(zhǎng)，得到關(guān)于y的關(guān)系式，把關(guān)系式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后前兩項(xiàng)提取2，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍，得到這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到正弦函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到y(tǒng)的最大值．
解答：解：（1）∵A=，a=，且△ABC的面積為，
∴S_△ABC=bcsinA=bc=，
∴bc=2①，
由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：3=b²+c²-bc=b²+c²-2，
∴b²+c²=5②，
聯(lián)立①②，解得a=1，b=2或a=2，b=1，
則△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=+2+1=3+；
（2）∵A=，B=x，
∴C=π-A-B=-x，
由正弦定理==得：
b===2sinx，c===2sin（-x），
∴周長(zhǎng)y=a+b+c=+2sinx+2sin（-x）
=+2sinx+2sincosx-2cossinx
=3sinx+cosx+
=2（sinx+cosx）+
=2sin（x+）+，
∵0＜x＜π，∴＜x+＜，
則當(dāng)x+=，即x=時(shí)，y_max=3．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：三角形的面積公式，正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．