Question

17．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)，則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號（　�。�
①f（x）=x²； ②f（x）=2^x；  ③f（x）=$\sqrt{|x|}$； ④f（x）=ln|x|．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)新定義“保比等比數(shù)列”，結(jié)合等比數(shù)列中項(xiàng)的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個(gè)函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答 解：由等比數(shù)列性質(zhì)知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①當(dāng)f（x）=x²時(shí)，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故①正確；
②當(dāng)f（x）=2^x時(shí)，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故②不正確；
③當(dāng)f（x）=$\sqrt{|x|}$時(shí)，f（a_n）f（a_n+2）=$\sqrt{{|a}_{n}|•|{a}_{n+2}|}$=$\sqrt{{{a}_{n+1}}^{2}}$=f²（a_n+1），故③正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|a_n+1|²=f²（a_n+1），故④不正確；
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號是①③，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計(jì)算，正確運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．