Question

過拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率為k的動直線l，與C交于A、B兩點(diǎn)，拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P．
（1）M為上拋物線C異于A、B的一點(diǎn)，當(dāng)k=0時，求直線AM、BM的斜率之差的絕對值；
（2）證明：點(diǎn)P在一條定直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）k=0時，直線l的方程為y=

p

2

，則A（p，

p

2

），B（-p，

p

2

）設(shè)M為（m，

m2

2p

），則kAM=

m2 2p - p 2

m-p

，kBM=

m2 2p - p 2

m+p

，由此能求出直線AM、BM的斜率之差的絕對值．
（2）設(shè)直線AB為y=kx+

p

2

，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出A點(diǎn)處切線為2py-2x₁x+x₁²=0．B點(diǎn)處切線為2py-2x₂x+x₂²=0，聯(lián)立求的P（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

），聯(lián)立AB和拋物線，得x²-2pkx-p²=0，由此能證明P點(diǎn)在定直線y=-

p

2

上．

解答： （1）解：拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，

p

2

），
k=0時，直線l的方程為y=

p

2

，則A（p，

p

2

），B（-p，

p

2

）
設(shè)M為（m，

m2

2p

），則kAM=

m2 2p - p 2

m-p

，kBM=

m2 2p - p 2

m+p

，
∴直線AM、BM的斜率之差的絕對值為：
|

m2 2p - p 2

m+p

-

m2 2p - p 2

m-p

|
=|

-m2+p2

m2-p2

|
=1．
∴直線AM、BM的斜率之差的絕對值是1．
（2）證明：設(shè)直線AB為y=kx+

p

2

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵x²=2py，即y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

，
∴A點(diǎn)處切線斜率為y'=

x1

p

，
則切線為2py-2x₁x+x₁²=0．
同理，B點(diǎn)處切線為2py-2x₂x+x₂²=0
聯(lián)立求的P（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
聯(lián)立AB和拋物線

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pkx-p²=0，
x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²
則

x1x2

2p

=

-p2

2p

=-

p

2

，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值-

p

2

，
∴P點(diǎn)在定直線y=-

p

2

上．

點(diǎn)評：本題考查兩直線斜率之差的絕對值的求法，考查點(diǎn)在定直線上的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．