Question

如圖，在三棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為△內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，
求證：∥面；
（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)锳C和PB是異面直線，所以可以采用線面垂直得線線垂直的方法證，即先平面。要證平面需證面內(nèi)的兩條相交線PA和AB都和AC垂直。為已知條件證PA和AC垂直依據(jù)是線面垂直得線線垂直。（Ⅱ）（法一空間向量法）由題意可以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。分別設(shè)出AB,AC,AP的三邊長，故可得點(diǎn)A,點(diǎn)B點(diǎn)C點(diǎn)P的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)D為PA中點(diǎn)，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，即可求出坐標(biāo)和平面PBC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，用向量數(shù)量積公式可求得，即，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927127470.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以∥平面．（法二一般方法）由可知，G為三角形重心。設(shè)AB中點(diǎn)為E，所以G在OE上，根據(jù)中位線可得∥，連結(jié)并延長交于，連。因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927221388.png" style="vertical-align:middle;" />∥，且E為AB中點(diǎn)，所以G為AF中點(diǎn)，所以∥，內(nèi)線外線平行所以得線面平行。問題得證。（Ⅲ）采用空間向量法，由（Ⅰ）可知是面PAB的一個(gè)法向量。先求兩個(gè)法向量所成的角。兩個(gè)法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)。由觀察可知此二面角為銳二面角，所以余弦值為正值。
試題解析：證明：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926550394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926597531.png" style="vertical-align:middle;" />，且，
所以平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927501402.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以．                                       4分
（Ⅱ）
解法1:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926550394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，．又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926597531.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，，
則，，，
，．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926815892.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
于是，
，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量
，則有
即 
不妨設(shè)，則有，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240329279232090.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927127470.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以∥平面．                                          9分
解法2：

取中點(diǎn)，連，則.
由已知可得,
則點(diǎn)在上.連結(jié)并延長交于，連.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032928406430.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，
所以∥,即為的中點(diǎn).
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926737315.png" style="vertical-align:middle;" />為線段的中點(diǎn)，
所以∥.
又平面,平面,
所以∥平面．       9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926690433.png" style="vertical-align:middle;" />面，所以面的一個(gè)法向量是．
又，
由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．                        14分