Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1），過(guò)拋物線上的異于頂點(diǎn)的不同兩點(diǎn)A、B作拋物線的切線AC、BD，與y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線AD與直線BC交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）判斷直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若直線MN與y軸的交點(diǎn)恰為R（0，2），求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線開口向上，以F（0，1）為焦點(diǎn)，易得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y；
（2）設(shè)A（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²），可得切線AC、BD的方程，求得C（0，-

1

4

x₁²）且D（0，-

1

4

x₂²），由此可得直線AD方程為y=

x12+x22

4x1

x-

1

4

x₂²且直線BC方程為y=

x12+x22

4x2

x-

1

4

x₁²，分別聯(lián)解AC、BD方程和AD、BC方程，得出點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，故直線MN的斜率k=0為定值；
（3）由（2）得

x1x2

4

=2，解出x₁x₂=8．設(shè)直線AB：y=kx+m，與拋物線方程消去y得x²-4kx-4m=0，從而得到x₁x₂=-4m=8，解之得m=-2，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2）．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1），
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2py，且

p

2

=1，可得2p=4
因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y；
（2）設(shè)A（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²）
可得直線AC方程為y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，直線BD方程為y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

4

x₁²），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

4

x₂²）
因此，直線AD方程為y=

x12+x22

4x1

x-

1

4

x₂²，
直線BC方程為y=

x12+x22

4x2

x-

1

4

x₁²，
直線AC、BD方程聯(lián)解，得M坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
直線AD、BC方程聯(lián)解，得N坐標(biāo)為（

x1 x2 (x1+x2)

x12+x22

，

x1x2

4

）
由此可得點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，故直線MN的斜率k=0，為定值；
（3）由（2）得

x1x2

4

=2，得x₁x₂=8
設(shè)直線AB：y=kx+m，由

y=kx+m x2=4y

消去y得x²-4kx-4m=0
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂=-4m=8，解之得m=-2
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的兩條切線AC、BD與y軸交于C、D兩點(diǎn)，在AC與BD交于點(diǎn)M、直線AD與直線BC交于點(diǎn)N的情況下證明直線的斜率為定值，并求直線AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．