已知函數(shù)f(x)滿足:對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0時,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并證明:當(dāng)x<0時,1<f(x)<2.
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明.
(3)若函數(shù)g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上遞減,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2中,令x=y=0,再驗(yàn)證即可求出f(0)=2.設(shè)x<0,則-x>0,利用f(x)=
f(-x)
f(-x)-1
=1+
1
f(-x)-1
結(jié)合x>0時,f(x)>2,再證明.
(2)設(shè)x1<x2,將f(x2)轉(zhuǎn)化成f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2,得出了f(x2)與f(x1)關(guān)系表達(dá)式,
且有f(x2-x1)>2,可以證明其單調(diào)性.
 (3)結(jié)合(2)分析出x∈(-∞,0)時,f(x)-k<0,k大于 f(x)的最大值即可.
解答:解:(1)∵f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2令x=y=0,
f(0)=f(0)•f(0)-f(0)-f(0)+2
∴f2(0)-3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
 則 f(1)=f(1+0)=f(1)•f(0)-f(1)-f(0)+2=1,
與已知條件x>0時,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2                         (1分)
設(shè)x<0,則-x>0,那么f(-x)>2
又2=f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)-f(x)-f(-x)+2
f(x)=
f(-x)
f(-x)-1
=1+
1
f(-x)-1

∵f(-x)>2
,∴0<
1
f(-x)-1
<1
,從而1<f(x)<2(3分)
(2)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)
設(shè)x1<x2則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>2
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2
=f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2
∵由(1)可知對x∈R,f(x)>1,∴f(x1)-1>0,又f(x2-x1)>2
∴f(x2-x1)•[f(x1)-1]>2f(x1)-2
f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2>f(x1
即f(x2)>f(x1
∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)                                               (3分)
(3)∵由(2)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)
∴函數(shù)y=f(x)-k在R上也是增函數(shù)
若函數(shù)g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上遞減
則x∈(-∞,0)時,g(x)=|f(x)-k|=k-f(x)
即x∈(-∞,0)時,f(x)-k<0,
∵x∈(-∞,0)時,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3分)
點(diǎn)評:本題是抽象函數(shù)類型問題.解決的辦法是緊緊抓住題目中給出的抽象函數(shù)的性質(zhì),對字母靈活準(zhǔn)確地賦值,一般可求出某一函數(shù)值,f(x)與f(-x) 的關(guān)系式,在探討單調(diào)性時,可將區(qū)間上的實(shí)數(shù)x1,x2,寫成x2 =(x2-x1 )+x1 或x2 =(x2÷x1 )×x1 建立f(x2)與f(x1)關(guān)系式,結(jié)合前述性質(zhì)證明.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),(x,y∈R)且f(1)=
1
2

(1)若n∈N*時,求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)
,sn=b1+b2+…+bn,求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn

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已知函數(shù)f(x) 滿足f(x+4)=x3+2,則f-1(1)等于( 。

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已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)當(dāng)x≥0時,曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
(2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時恒成立,求t的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù),并作出證明.

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已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24.
24.

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(2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥1時,f(x)=f(x-1);當(dāng)x<1時,f(x)=2x,則f(log27)=( 。

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