Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（-3，2）．
（1）求（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）的值
（2）當(dāng)k為何值時，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為6．

Answer 1

分析 （1）直接利用條件按照兩個向量的數(shù)量積公式，求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）的值．
（2）由條件求得（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）、|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|、|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值，可得cosθ=$\frac{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$ 的值，從而得到k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|•cosθ=6，由此求得k的值．

解答 解：（1）根據(jù)已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（-3，2），可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=（-2，0）•（7，-6）=-14．
（2）設(shè)k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，由于k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k-3，2-2k），3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（0，-4），
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=8k-8，|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}$，|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=4，
∴cosθ=$\frac{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{8-8k}{\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}•4}$=$\frac{2-2k}{\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}}$，
∴k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|•cosθ=$\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}$•$\frac{2k-2}{\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}}$=2-2k=6，
∴k=-2，即當(dāng) k=-2時，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為6．

點評 本題主要考查用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．