Question

11．過(guò)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0）作直線交C于A、B兩點(diǎn)，M為x軸上一點(diǎn)，直線AM與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線BM與C交于另一點(diǎn)N，AM⊥AN．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），解方程即可求得p；
（2）設(shè)M（m，0），由題意可得m＜0，設(shè)直線AM：y=l（x-m），代入拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，可得A的坐標(biāo)，M的坐標(biāo)，（用l表示），設(shè)出B，N的坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線的性質(zhì)：斜率相等和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可求得A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可得$\frac{p}{2}$=1，可得p=2，
即有拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)M（m，0），由題意可得m＜0，
設(shè)直線AM：y=l（x-m），
代入拋物線方程可得l²x²-（2ml²+4）x+m²l²=0，
由直線和拋物線相切可得判別式為（2ml²+4）²-4m²l⁴=0，
可得1+ml²=0，
解得A（$\frac{1}{{l}^{2}}$，$\frac{2}{l}$），M（-$\frac{1}{{l}^{2}}$，0），
可設(shè)B（$\frac{^{2}}{4}$，b），N（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），
由A，F(xiàn)，B共線，可得，$\frac{\frac{2}{l}}{\frac{1}{{l}^{2}}-1}$=$\frac{\frac{^{2}}{4}-1}$，解得b=-2l，
即有B（l²，-2l），
又M，B，N共線，可得$\frac{2l}{-\frac{1}{{l}^{2}}-{l}^{2}}$=$\frac{n}{\frac{{n}^{2}}{4}+\frac{1}{{l}^{2}}}$，解得n=-$\frac{2}{{l}^{3}}$，
則有N（$\frac{1}{{l}^{6}}$，-$\frac{2}{{l}^{3}}$）．
由AM⊥AN，可得$\frac{\frac{2}{l}}{\frac{1}{{l}^{2}}+\frac{2}{{l}^{2}}}$•$\frac{\frac{2}{l}+\frac{2}{{l}^{3}}}{\frac{1}{{l}^{2}}-\frac{1}{{l}^{6}}}$=-1，解得l=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得A（2，$±2\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，同時(shí)考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)：斜率相等，以及兩直線垂直的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．