如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．

證明：設(shè)∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．則
由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=（180°-2β）=90°-β；
同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．
而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，
∵∠A=∠C
∴∠OCN=∠MAO
∴△CON∽△AMO，
∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO2．
同理，AQ•CP=AO2，∴AM•CN=AQ•CP．
∴△AMQ∽△CPN，∴∠AMQ=∠CPN．
∴MQ∥NP．
分析：要證MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考慮證明∠AMQ=∠CPN．現(xiàn)∠A=∠C，故可證△AMQ∽△CPN．于是要證明AM：AQ=CP：CN．
點(diǎn)評：本題考查菱形的內(nèi)切圓，考查三角形的相似，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，菱形ABCD的邊長為1，有∠D=120°，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于點(diǎn)M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•西城區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=3
2
．
（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱錐M-ABD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∪BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=2
2
．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱錐B-DOM的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=2
2
．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D-AB-O余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則
AM
•
AN
的最大值為
9
9
．

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