Question

已知直線l₁：ax+2y+a+4=0，l₂：x+（a+1）y+5=0，l₁∥l₂，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在指向l₁與l₂上運(yùn)動，設(shè)AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n）．求m²+n²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由l₁∥l₂列式求得a的值，得到兩條直線方程，由題意，點(diǎn)C在平行于l₁，l₂且到l₁，l₂距離相等的直線上，即直線x-y+2=0上．然后把m²+n²的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O到直線x-y+2=0的距離得答案．

解答： 解：由l₁∥l₂，可知

a

1

=

2

a+1

≠

a+4

5

，解得a=-2．
∴兩條直線方程分別為l₁：x-y-1=0，l₂：x-y+5=0．
由題意，點(diǎn)C在平行于l₁，l₂且到l₁，l₂距離相等的直線上，即直線x-y+2=0上．
m²+n²=|CO|²（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．|CO|的最小值為點(diǎn)O到直線x-y+2=0的距離d=

2

2

=

2

．
∴(m2+n2)min=d2=2．

點(diǎn)評：本題考查了直線的一般式方程與直線平行的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．