Question

【題目】設(shè)函數(shù)有兩個極值點，，且．

（）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性．

（）證明：．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析 : （1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，由題意知，是方程的兩個均大于-1的不相等的實根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式 和，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）是方程的根，將用表示，消去得到關(guān)于的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可證得不等式．

試題解析 :

（）由題意知，函數(shù)的定義域是，

，

且有兩個不同的實數(shù)根，，故的判別式，即，且，，①

又，故．因此的取值范圍是．

當(dāng)變化時與的變化情況如下表：

		極大值		極小值

因此在區(qū)間和是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

（）由題意和①知，，，

于是．

設(shè)函數(shù)，則．

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，故在上是增函數(shù)．

于是，當(dāng)，．因此.