Question

（本小題滿分14分）

       在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP

（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（2）已知T（1，-1），設(shè)H是E 上動(dòng)點(diǎn),求+的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)T（1，-1）且不平行與y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍。

Answer 1

（本小題滿分14分）

       解：（1）如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q，

      

       因此即

              ①

       另一種情況，見圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）。

       MQ為線段OP的垂直平分線，

      

       又

       因此M在軸上，此時(shí)，記M的坐標(biāo)為

       為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn)

       由

   （即）得，

      

       故的軌跡方程為

                     ②

       綜合①和②得，點(diǎn)M軌跡E的方程為

      

（2）由（1）知，軌跡E的方程由下面E₁和E₂兩部分組成（見圖3）：

       ；

      

       當(dāng)時(shí)，過Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E₁于。

       再過H作垂直于的直線，交

       因此，（拋物線的性質(zhì)）。

       （該等號僅當(dāng)重合（或H與D重合）時(shí)取得）。

       當(dāng)時(shí)，則

       綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為

   （3）由圖3知，直線的斜率不可能為零。

       設(shè)

       故的方程得：

       因判別式

       所以與E中的E₁有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

       又由E₂和的方程可知，若與E₂有交點(diǎn)，

       則此交點(diǎn)的坐標(biāo)為有唯一交點(diǎn)，從而表三個(gè)不同的交點(diǎn)。

       因此，直線的取值范圍是