Question

求所有自然數(shù)n（n≥2），使得存在實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_n，滿足：{|a_i-a_j||1≤i＜j≤n}={1，2，…，

n(n-1)

2

}．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：n=2，3，4，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答： 解：n=2時(shí)，a₁=1，a₂=2符合題意
n=3時(shí)，a₁=1，a₂=2，a₃=4符合題意
n=4時(shí)，a₁=1，a₂=2，a₃=5，a₄=7符合題意
假設(shè)n≥5時(shí)，存在a₁，a₂…a_n符合題意
由于形如︳a_i-a_j︳（1≤i＜j≤n）的數(shù)共有

n(n-1)

2

個(gè)，且由題意它們兩兩不同都是正整數(shù)，所以不存在i，j，i≠j使得a_i=a_j．
不妨設(shè)a₁＜a₂＜…＜a_n．
由于︳a_n-a₁︳，︳a_n-1-a₁︳，︳a_n-a₂︳兩兩不同
則︳a_n-a₁︳≤

n(n-1)

2

，（a_n-a₁）+（a_n-1-a₁）+（a_n-a₂）≤

3n(n-1)

2

-3
當(dāng)n=2k+1≥5時(shí)
︳a₂-a₁︳，︳a₃-a₂︳…︳a_n-a_n-1︳，︳a₃-a₁︳，︳a₅-a₃︳…︳a_n-a_n-2︳是不同的3k個(gè)數(shù)，和≥1+2+3+…+3k=

3k(3k+1)

2

另一方面他們的和為a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_n-a_n-2=2（a_n-a¹）≤n（n-1）=2k（2k+1）
所以2k（2k+1）≥

3k(3k+1)

2

，解得0≤k≤1，矛盾
當(dāng)n=2k≥6時(shí)，︳a₂-a₁︳，︳a₃-a₂︳…︳a_n-a_n-1︳，︳a₃-a₁︳，︳a₅-a₃︳…︳a_n-a_n-3︳，︳a₄-a₂︳，︳a₆-a₄︳…︳a_n-a_n-2︳，是不同的（4k-3）個(gè)數(shù)，和≥1+2+3+…+（4k-3）=

1

2

（4k-3）（4k-2）=（2k-1）（4k-3）
另一方面他們的和為a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_n-a_n-2=（a_n-a₁）+（a_n-1-a₁）+（a_n-a₂）≤

3

2

n（n-1）-3=3k（2k-1）-3
所以3k（2k-1）-3≥（4k-3）（2k-1）
解得

3

2

≤k≤2，矛盾
故假設(shè)不成立，n=2，3，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．