Question

已知直線l₁：kx-y-4k+1=0過定點(diǎn)P，且直線l2：

x

a

+

y

b

=1 (a，b＞0)也過P點(diǎn)．
（1）求a+b的最小值；
（2）若l₁與圓C：x²+y²-8x+4y+16=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,恒過定點(diǎn)的直線

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）直線l₁：kx-y-4k+1=0可化為k（x-4）+（-y+1）=0，可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得

4

a

+

1

b

=1（a＞0，b＞0），利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，可求a+b的最小值；
（2）根據(jù)l₁與圓C：x²+y²-8x+4y+16=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求l₁的方程．

解答： 解：（1）直線l₁：kx-y-4k+1=0可化為k（x-4）+（-y+1）=0，
∴x=4，y=1，即直線l₁恒過定點(diǎn)P（4，1），
∵直線l2：

x

a

+

y

b

=1 (a，b＞0)也過P點(diǎn)，
∴

4

a

+

1

b

=1（a＞0，b＞0），
∴a+b=（a+b）（

4

a

+

1

b

）=5+

4b

a

+

a

b

≤5+2

4b a • a b

=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號，
∴a+b的最小值為9；
（2）x²+y²-8x+4y+16=0可化為（x-4）²+（y+2）²=4．
∵l₁與圓C：x²+y²-8x+4y+16=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴d=

|4k+2-4k+1|

k2+1

=2，
∴

k2+1

=

3

2

，
∴k=±

5

2

，
∴l(xiāng)₁的方程為y-1=±

5

2

（x-4）．

點(diǎn)評：本題考查直線恒過定點(diǎn)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．