Question

17．函數(shù)f（x）=x²+ax+2b的一個(gè)零點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出點(diǎn)（a，b）構(gòu)成的平面區(qū)域；
（2）求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x²+ax+2b的一個(gè)零點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)可得關(guān)于a，b的不等式組．
（1）直接由不等式組畫出點(diǎn)（a，b）構(gòu)成的平面區(qū)域；
（2）令z=a+b得到線性目標(biāo)函數(shù)，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+2b的一個(gè)零點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
（1）由約束條件作出可行域如圖：
（2）令z=a+b，化為直線方程的斜截式b=-a+z，
A（-1，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$，解得B（-3，1），
由圖可知，當(dāng)直線b=-a+z過A時(shí)，直線在b軸上的截距最大，z有最大值為-1；
當(dāng)直線b=-a+z過B時(shí)，直線在b軸上的截距最小，z有最小值為-3+1=-2．
∴a+b的范圍為[-2，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根的分布，考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．