Question

 （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A,C上頂點(diǎn)為B，過F,B,C三點(diǎn)作，其中圓心P的坐標(biāo)為．(1) 若FC是的直徑，求橢圓的離心率；（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的離心率；(2)橢圓的方程為 。

【解析】(1)由橢圓的方程知a=1,再根據(jù),轉(zhuǎn)化為,再結(jié)合,從而可得c,進(jìn)而得到e.

(II) 圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上,所以通過解FC的垂直平分線和BC的垂直平分線方程組成的方程組得到圓心P的坐標(biāo)，再根據(jù)P點(diǎn)在直線m+n=0上，從而可建立關(guān)于b,c的方程.根據(jù)a=1，解出b,c的值，求出橢圓方程.

解：（1）由橢圓的方程知，∴點(diǎn)，，

設(shè)的坐標(biāo)為，………………1分

∵FC是的直徑，

∴

∵  ∴ --------------------2分

∴，----------------------------------------3分

解得 --------------------------------------5分

∴橢圓的離心率--------------------6分

(2)∵過點(diǎn)F,B,C三點(diǎn)，

∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，

FC的垂直平分線方程為--------①

-----------7分

∵BC的中點(diǎn)為，

∴BC的垂直平分線方程為-----②

---------9分

由①②得，

即                       -----11分

∵P在直線上，∴  

∵  ∴          -----------------13分

由得

∴橢圓的方程為      ---------------------14分