Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

2a=2×2b 2c=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此根的判別式、韋達(dá)定理、等比數(shù)列、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出△OMN面積的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

2a=2×2b 2c=2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此時(shí)設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x2=

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4(m2-1)

1+4k2

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
又直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²，
∴-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由m≠0得：k²=

1

4

，解得k=±

1

2

，
又由△＞0 得：0＜m²＜2，
顯然m²≠1（否則：x₁x₂=0，則x₁，x₂中至少有一個(gè)為0，
直線OM、ON中至少有一個(gè)斜率不存在，矛盾）
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則
S_△OMN=

1

2

|MN|d=

1

2

×

|m|

1+k2

•

1+k2

|x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)-4x1x2

=

-(m2-1)2+1

，
故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意根的判別式、韋達(dá)定理、等比數(shù)列、弦長公式等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．