Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，A₁在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：
（1）連結(jié)BC₁，求異面直線AA₁與BC₁所成角的大��；
（2）連結(jié)A₁C、A₁B，求三棱錐C₁-BCA₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)異面直線所成的角的定義找出異面直線AA₁與BC₁所成的角，再求出異面直線AA₁與BC₁所成角的大小．
（2）由題意，先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積VABC-A1B1C1，在求得VA1-B1C1CB的大小，從而得VC1-BCA1的大�。�

解答： 解：如圖，；
（1）聯(lián)結(jié)AO，并延長(zhǎng)與BC交于點(diǎn)D，則AD是BC邊上的中線．點(diǎn)O是正△ABC的中心，且A₁O⊥平面ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A₁O，且AD∩A₁O=O．
∴BC⊥平面ADA₁．
∴BC⊥AA₁．
又AA₁∥CC₁，
∴異面直線AA₁與BC₁所成的角為∠BC₁C．
∴CC₁⊥BC，
即四邊形BCC₁B₁為正方形．
∴異面直線AA₁與BC₁所成角的大小為

π

4

．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，
∴AD=

3

，AO=

2

3

AD=

2 3

3

，
A₁O=

AA12-AO2

=

2 6

3

．
∴VABC-A1B1C1=S_△ABC•A₁O=

3

4

×2²×

2 6

3

=2

2

，
∴VA1-B1C1CB=VABC-A1B1C1-VA1-ABC=

4 2

3

．
∴VC1-BCA1=VA1-BCC1=

1

2

VA1-BCC1B1=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的異面直線所成的角以及求幾何體的體積等問題，解題時(shí)應(yīng)畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化計(jì)算方法，是中檔題．