Question

3．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅰ）求橢圓Γ的離心率；
（Ⅱ）設直線y=x+m與橢圓Γ交于不同兩點A，B，若點P（0，1）滿足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a，b，c，即可求橢圓Γ的離心率；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理確定AB的中點坐標，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之間的關系，從而可得結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，a=2，b=1，∴c=$\sqrt{3}$．…（6分）
故橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（8分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線x-y+m=0與已知橢圓方程聯(lián)立，消去y可得$\frac{5}{4}{x}^{2}+2mx+{m}^{2}-1=0$
由△＞0得$m∈（{-\sqrt{5}，\sqrt{5}}）$． 
∴x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=$\frac{2m}{5}$
∴AB的中點坐標為（-$\frac{4m}{5}$，$\frac{m}{5}$）
∵P（0，1），且|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，
∴PM⊥AB，
∴$\frac{\frac{m}{5}-1}{-\frac{4}{5}m}×1=-1$
∴m=-$\frac{5}{3}$．…（15分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．