Question

已知向量

a

=（cosx，cosx），

b

=（sinx，-cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1
（Ⅰ）求函數(shù) f（x）最的小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的表達式并化為一個角三角函數(shù)，求出它的最小正周期；
（Ⅱ）先判定f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的單調(diào)性，再求出f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

a

•

b

+1
=2（cosxsinx-cos²x）+1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）
∴2x-

π

4

∈[-

π

2

+2π，

π

2

+2kπ]，k∈Z；
∴x∈[kπ-

π

8

，

3π

8

+kπ]，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

8

，

3π

8

+kπ]，k∈Z；
同理，單調(diào)減區(qū)間是[kπ+

3π

8

，

7π

8

+kπ]，k∈Z；
∴f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數(shù)；
且f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

-

π

4

）=0，
f（

3π

8

）=

2

sin（2×

3π

8

-

π

4

）=

2

，
f（

3π

4

）=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1；
∴f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積的計算問題和三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合題．