Question

已知點P是圓x²+y²=1上一動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件

QM

=λ

QP

（λ為非零常數(shù)）的點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若存在過點N(

1

2

，0)的直線l與曲線C相交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=0（O為坐標原點），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設出點P的坐標，利用題中條件把點M的坐標用點P的坐標表示出來，最后利用點P在圓x²+y²=1上即可求曲線C的方程；
（2）先把直線方程與曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點的坐標之間的關系，代入

OA

•

OB

=0的等價結論x₁x₂+y₁y₂=0即可求λ的取值范圍．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（0，y₀）．
由

QM

=λ

QP

，得x=λx₀，y=y₀?x0=

x

λ

，y₀=y．（3分）
因為點P在圓x²+y²=1上，則x₀²+y₀²=1，所以

x2

λ2

+y2=1(λ≠0)．
故點M的軌跡C的方程為

x2

λ2

+y2=1(λ≠0)．（7分）
（2）因為直線l的斜率為0時，

OA

•

OB

=0，故可設直線l的方程為x=my+

1

2

．
由

x=my+ 1 2 x2+λ2y2=λ2

得(m2+λ2)y2+my+

1

4

-λ2=0（*）（10分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=-

m

m2+λ2

，y1y2=

1 4 -λ2

m2+λ2

．
因為

OA

•

OB

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，又x1x2=m2y1 y2 +

m

2

(y1+y2)  +

1

4

，

所以(m2+1)(

1

4

-λ2)-

m2

2

+

1

4

(m2+λ2)=0，（13分）
因為λ≠0，所以m²=

1 4 - 3 4 λ2

λ2

，由

1 4 - 3 4 λ2

λ2

≥0?-

3

3

≤λ≤

3

3

且λ≠0．，

此時（*）的判別式△＞0成立，故λ的取值范圍是[-

3

3

，0)∪(0，

3

3

]．（15分）

點評：本題主要考查軌跡方程的求法，直線的方程，向量共線以及向量垂直等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質和數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題的能力和運算能力．