Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=8，a_n+2=（2+i²ⁿ）a_n+1+i²ⁿ，（i是虛數(shù)單位，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=na_2n，n∈N+，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n是奇數(shù)時，an=

a

1

=2，當(dāng)n是偶數(shù)時，a_n+2=3a_n+2，從而推導(dǎo)出{a_n+1}是以a₂+1=9為首項，3為公比的等比數(shù)列，由此求出an=

2，n是奇數(shù) 3 n 2 +1-1，n是偶數(shù)

．
（Ⅱ）b_n=na_2n=n（3ⁿ⁺¹-1）=n•3ⁿ⁺¹-n，由此利用分組求和法和錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=8，a_n+2=（2+i²ⁿ）a_n+1+i²ⁿ，
①當(dāng)n是奇數(shù)時，an=

a

1

=2，
②當(dāng)n是偶數(shù)時，a_n+2=3a_n+2，∴a_n+2+1=3（a_n+1），
{a_n+1}是以a₂+1=9為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴an+1=9•3

n

2

-1=3 

n

2

+1，
∴an=3

n

2

+1-1．
由①②知，an=

2，n是奇數(shù) 3 n 2 +1-1，n是偶數(shù)

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_2n=3ⁿ⁺¹-1，
∴b_n=na_2n=n（3ⁿ⁺¹-1）=n•3ⁿ⁺¹-n，
設(shè){n•3ⁿ⁺¹}的前n項和為S_n，
則Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，①
3S_n=1•3³+2•3⁴+3•3⁵+…+n•3ⁿ⁺²，②
①-②，得-2S_n=3²+3³+3⁴…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²
=

32(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺²，
∴Sn=

9

4

+

2n-1

4

•3n+2，
∴Tn=

9

4

+

2n-1

4

•3n+2-

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．