數(shù)列{an} 的前n項和Sn=2n-an,先計算數(shù)列的前4項,后猜想an并用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
計算得:a1=1,a2=
3
2
,a3=
7
4
a4=
15
8
猜想  an=
2n-1
2n-1
;
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1)n=1時,成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立,即ak=
2k-1
2k-1

則當(dāng)n=k+1時,由Sk+1=2(k+1)-ak+1,得Sk+1-ak+1=2(k+1)-2ak+1,
∴Sk=2(k+1)-2ak+1
∴2k-ak=2(k+1)-2ak+1,
ak+1=
2k+1-1
2(k+1)-1

這就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.
由(1)(2)可知an=
2n-1
2n-1
                       
對n∈N均成立.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn,并證明:不等式Sn+1≤4Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=px2+qx(p≠0),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=6x-2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若cn=
13
(an+2),2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn
,求數(shù)列{bn}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),
(1)求a2以及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使這n個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列.
(。┣笞C:
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
15
16
(n∈N*);
(ⅱ)求證:在數(shù)列{dn}中不存在三項dm,ds,dt成等比數(shù)列.(其中m,s,t依次成等比數(shù)列)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=log3(n+1),則a5等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•商丘二模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列:
1
2
1
3
,
2
3
,
1
4
,
2
4
,
3
4
,
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
…,
1
n
,
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下運(yùn)算和結(jié)論:
①a24=
3
8
;
②數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列;
③數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項和為Tn=
n2+n
4
;
④若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=
5
7

其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)

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